Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Ta có a² + b² = c² + d².

Suy ra a² + b² + c² + d² = 2(c² + d²) ⋮ 2   (1)

Xét A = (a² + b² + c² + d²) – (a + b + c + d).

= (a² – a) + (b² – b) + (c² – c) + (d² – d).

= a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) + d(d – 1).

Vì a và a – 1 là hai số nguyên liên tiếp nên tích a(a – 1) chia hết cho 2.

Tương tự như vậy, ta có b(b – 1) ⋮ 2, c(c – 1) ⋮ 2 và d(d – 1) ⋮ 2.

Khi đó A ⋮ 2   (2)

Từ (1), (2), suy ra a + b + c + d chia hết cho 2.

Mà a, b, c, d là các số nguyên dương.

Suy ra a + b + c + d > 2.

Vậy a + b + c + d là hợp số.