Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20.

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)²⁰ là

$a_k=C_{20}^k{.1}^{20-k}{.2}^k=C_{20}^k{.2}^k$, với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử a_k là hệ số lớn nhất trong các hệ số a₀, a₁, a₂, ..., a₂₀.

Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}{a}_k\ge a_{k+1}\\ a_k\ge a_{k-1}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{C}_{20}^k{.2}^k\ge C_{20}^{k+1}{.2}^{k+1}\\ C_{20}^k{.2}^k\ge C_{20}^{k-1}{.2}^{k-1}\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{20!}{\left(20-k\right)!.k!}\ge \frac{20!.2}{\left(20-k-1\right)!.\left(k+1\right)!}\\ \frac{20!}{\left(20-k\right)!.k!}\ge \frac{20!}{\left(20-k+1\right)!.\left(k-1\right)!.2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{20-k}\ge \frac{2}{k+1}\\ \frac{2}{k}\ge \frac{1}{21-k}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3k\ge 39\\ 42\ge 3k\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}k\ge 13\\ k\le 14\end{array}\right.\iff 13\le k\le 14$

Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có $a_{13}=C_{20}^{13}{.2}^{13}=635043840$ . 

Với k = 14, ta có $a_{14}=C_{20}^{14}{.2}^{14}=635043840$  .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰ là 635 043 840.