Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của .

Câu hỏi:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P = \frac{x + 1}{y^{2} + 1} + \frac{y + 1}{z^{2} + 1} + \frac{z + 1}{x^{2} + 1}$ .

Trả lời:

Ta có: (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x² ≥ 0

⇔ 2x² – 2xy + 2y² – 2yz + 2z² – 2xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – xy – yz – xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz

⇔ (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + xz)

$\Leftrightarrow x y + y z + x z \leq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{3} = \frac{3^{2}}{3} = 3$

Ta có

$\frac{x + 1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . \frac{1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . (1 - \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}) \geq (x + 1) (1 - \frac{y^{2}}{2 y}) = x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2}$

$\frac{y + 1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . \frac{1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{z^{2} + 1}) \geq (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{2 z}) = y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2}$

$\frac{z + 1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . \frac{1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}) \geq (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{2 x}) = z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}$

Suy ra $P \geq x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2} + y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2} + z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}$