Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng 1 nửa mặt
Câu hỏi:
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx, lấy điểm M thuộc (O) (M khác A và B) sao cho MA > MB. Tia AM cắt Bx tại C. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O) (D là tiếp điểm)
a) Chứng minh OC ⊥ BD.
b) Chứng minh bốn điểm O, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh \(\widehat {CMD} = \widehat {CDA}\).
d) Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất.
Trả lời:
a) Ta có : CD, CB là tiếp tuyến của (O) ⇒ CO ⊥ BD
b) Vì CD, CB là tiếp tuyến của (O) ⇒ CD ⊥ OD, CB ⊥ OB
⇒ O, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OC
c) Ta có : CD là tiếp tuyến của (O)
(góc nội tiếp cùng chắn cung DM)
Xét tam giác CDM và tam giác CAD có:
\(\widehat {CDM} = \widehat {CAD}\)
Chung \(\widehat C\)
⇒ ∆CDM ∽ ∆CAD (g.g)
⇒ \(\widehat {CMD} = \widehat {CDA}\)
d) Ta có :
POMH = OM + MH + HO = R + MH + HO
→Để POMH lớn nhất
→ MH + HO lớn nhất
Mà MH + HO = \(\sqrt {{{\left( {MH + HO} \right)}^2}} \le \sqrt {2\left( {M{H^2} + H{O^2}} \right)} = \sqrt {2{R^2}} = R\sqrt 2 \)
MH + HO lớn nhất khi MH = OH
Suy ra: \(\widehat {MOH} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {MOB} = 45^\circ \).
