Cho hàm số đa thức f (x) có đạo hàm trên R

Câu hỏi:

Cho hàm số đa thức f (x) có đạo hàm trên R. Biết $f\left(0\right)=0$ và đồ thị hàm số $y = f\text{'}\left(x\right)$ như hình sau:

Hàm số $g\left(x\right)=\left|4f\left(x\right)+x^2\right|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(4;+\infty \right)$

B. $\left(0;4\right)$

C. $\left(-\infty ;-2\right)$

D. $\left(-2;0\right)$

Trả lời:

Đặt $h\left(x\right)=4f\left(x\right)+x^2$ ta có  $h\text{'}\left(x\right)=4f\left(x\right)+2x=4\left[f\text{'}\left(x\right)+\frac{x}{2}\right]$

Số nghiệm của phương trình $h\text{'}\left(x\right)=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ và đường thẳng  $y=-\frac{x}{2}$

Vẽ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ và đường thẳng $y=-\frac{x}{2}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy  

Khi đó ta có BBT hàm số  $y = h\left(x\right)$

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số $g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|$ như sau:

Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số g (x) đồng biến trên (0;4)

Đáp án cần chọn là: B