Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15, BN = 12 và tam giác CMN có diện tích là \(15\sqrt 3 \). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trả lời:
Do M, N là trung điểm của BC,AC
Nên SCMN = \(\frac{1}{4}\)SABC
Suy ra: SABC = 4SCMN = \(60\sqrt 3 \)
SABG = \(\frac{2}{3}{S_{ABM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.60\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \)
Lại có: SABG = \(\frac{1}{2}.AG.GB.\sin \widehat {AGB} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.AM.\frac{2}{3}.BN.\sin \widehat {AGB} = 40.\sin \widehat {AGB}\)
Suy ra: \(40.\sin \widehat {AGB} = 20\sqrt 3 \)
⇒ \(\widehat {AGB} = 60^\circ \)
Ta có: AB2 = AG2 + GB2 – 2.AG.GB.cos\(\widehat {AGB}\) = 84
Suy ra: AB = \(2\sqrt {21} \)
M,N là trung điểm của BC,AC
⇒ MN là đường trung bình của ΔACB
⇒ \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2\sqrt {21} = \sqrt {21} \)
Vậy \(MN = \sqrt {21} \).
