Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn: vecto MA + 2 vecto MB + 3 vecto MC
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn:
\(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\).
Tập hợp điểm M là gì?
Trả lời:
Gọi điểm I thỏa mãn:
\(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
⇔ \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
⇔ \(2\overrightarrow {IE} + 4\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 \)(với E, K lần lượt là trung điểm của AC và BC)
⇔ \(6\overrightarrow {IK} = - 2\overrightarrow {KE} \)
⇔ \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {EK} \)
Gọi H là điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow {HA} + 2\overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \)
⇔ \(\overrightarrow {HB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
Theo đề ra: \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\)
⇔ \(\left| {6\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} + 2\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right)} \right|\)
⇔ 6MI \( = \left| {\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} } \right|\)
⇔ 6MI = 3CH
⇔ MI = \(\frac{1}{2}CH\)
Vậy M thuộc đường tròn tâm I, bán kính bằng \(\frac{1}{2}CH\).
