Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy E, trên tia đối của CA lấy F sao cho BE = CF. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc AB cắt BI tại K. Chứng minh tam giá
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy E, trên tia đối của CA lấy F sao cho BE = CF. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc AB cắt BI tại K. Chứng minh tam giác BEK là tam giác vuông cân.
Trả lời:
Ta có:
EB // FD
⇒AE // FD (1)
Từ tia đối của tia EK vẽ KD // AE
Lại có: EK và KD cùng song song với FA
⇒ ED song song với FA (2)
Từ (1) và (2) suy ra AFDE là hình bình hành.
⇒ AD giao EF tại trung điểm mỗi đường
⇒ I là trung điểm của EF
⇒ IE = IF (*)
EK ⊥ AB
FA ⊥AB
⇒ FA // EK
⇒
Xét tam giác EKI và tam giác FCI có :
(chứng minh trên)
IE = IF ( chứng minh * )
( hai góc đối đỉnh bằng nhau )
⇒ ∆EKI = ∆FCI ( g.c.g )
⇒ EK = CF
Mà BE = CF
⇒ BE = EK
Mà lại có: vuông
⇒ Tam giác BEK là tam giác vuông cân tại E.
