Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC , trên tia đối của tia MB

1) Xét ΔCBM và ΔADM có:

AM = MC (giả thtết)

$\widehat {CMB} = \widehat {AMD}$(đối đỉnh)

BM = MD (giả thiết)

⇒ ΔCBM = ΔADM (c.g.c)

Suy ra: BC = DA (hai cạnh tương ứng)

2) Xét ΔABM và ΔCDM có:

AM = CM(giả thiết)

$\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

BM = DM (giả thiết)     

⇒ ΔABM = ΔCDM (c.g.c)

$\widehat {BAM} = \widehat {DCM} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng) (đpcm)

⇒ DC ⊥ AC (đpcm)

3) Ta có BN // AC mà AC⊥DC⇒ BN ⊥ DC ⇒ $\widehat {BND} = 90^\circ$

AB // CD (do cùng ⊥AC)

Xét ΔABC và ΔNBC có:

$\widehat {ABC} = \widehat {NCB}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

BC chung

$\widehat {ACB} = \widehat {NBC}$ (do BN//AC nên đó là hai góc ở vị trí so le trong)

⇒ ΔABC = ΔNBC (g.c.g)

⇒ AB = NC (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABM và ΔCNM có:

AB = CN (cmt)

$\widehat {BAM} = \widehat {NCM} = 90^\circ$

AM = CM (giả thiết)

⇒ ΔABM = ΔCNM (đpcm)