Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC sao cho BM = BC và CN = CH. Chứng minh MN vuông góc với AC.

Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC sao cho BM = BC và CN = CH. Chứng minh MN vuông góc với AC.

Xét tam giác MCB có: BM = BC (giả thiết)

Suy ra tam giác MCB cân tại B, nên $\widehat{BCM}=\widehat{HMC}$

Xét tam giác CHM vuông tại H có $\widehat{HMC}+\widehat{HCM}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay $\widehat{HCM}=90°-\widehat{HMC}$

Ta có: $\widehat{MCN}+\widehat{MCB}=\widehat{ACB}=90°$

Hay $\widehat{NCM}=90°-\widehat{MCB}$

Mà $\widehat{BCM}=\widehat{HMC}$, suy ra $\widehat{HCM}=\widehat{MCN}$

Xét tam giác MCH và tam giác MCN có:

CH = CN (giả thiết);

$\widehat{HCM}=\widehat{MCN}$ (chứng minh trên);

CM chung

Do đó ∆MCH = ∆MCN (c.g.c)

Suy ra $\widehat{CHM}=\widehat{CNM}$

Mà $\widehat{CHM}=90°$, do đó $\widehat{CNM}=90°$

Hay MN vuông góc với AC

Vậy MN vuông góc với AC.