Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x^4 + y^4) + 1/xy > = 5
Câu hỏi:
Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+1xy≥5.
Trả lời:
Ta có:
(a – b)2 ≥ 0
⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
⇔ 2(a2 + b2) ≥ 2ab + a2 + b2
⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
⇔a2+b2≥(a+b)22
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
8(x4+y4)≥8[(x2+y2)22]
⇔8(x4+y4)≥4(x2+y2)2
⇔8(x4+y4)≥4[(x+y2)2]2=1 (vì x + y = 1)
Lại có (x + y)2 ≥ 4xy
⇔ 1 ≥ 4xy (vì x + y = 1)
⇔xy≤14
⇔1xy≥4
Suy ra 8(x4+y4)+1xy≥1+4=5
Vậy 8(x4+y4)+1xy≥5.