Cho ( x + căn bậc hai của x^2 + 2005)( y + căn bậc hai của y^2 + căn bậc hia của 2005) = căn bậc hai của 2005). Tính x + y.

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Ta có: $\left( {x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x} \right) = {x^2} + \sqrt {2005} - {x^2} = \sqrt {2005}$

Mà theo bài cho ta có:

$\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2005} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } } \right) = \sqrt {2005}$

$\Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 2005} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } } \right) = \left( {x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x} \right)$

$\Leftrightarrow y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } = \sqrt {{x^2} + 2005} - x$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: $x + \sqrt {{x^2} + 2005} = \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } - y$ (2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta có:

$x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } + y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } = \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } - y$

$\Leftrightarrow x + y = - x - y$

$\Leftrightarrow x + y = 0$.

Vậy x + y = 0.