Cho x; y; z > 1 thỏa mãn x= 2y=3z và xy+yz+zx=12^2 . Tính x + y – z.

Cho x; y; z > 1 thỏa mãn  $\left\{\begin{array}{l}x=2y=3z\\ xy+yz+xz={12}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=6\\ z=4\end{array}\right.$. Tính x + y – z.

Ta có: 5x² + 16y² + 27z² − 12xy − 12xz − 12yz

= 3(x − 2y)² + (2y − 3z)² + 2(x − 3z)² ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2y = 3z  (1)

Suy ra 5x² + 16y² + 27z² ≥ 12(xy + yz + xz)

 $\Rightarrow {\log }_{(xy+yz+xz)}(5x^2+16y^2+27z^2)\ge lo{g}_{(xy+yz+xz)}\left[12(xy+yz+xz)\right]=lo{g}_{(xy+yz+xz)}12+1$

(có xy + yz + xz ≥ 1 nên hàm số  $f\left(t\right)={\log }_{xy+yz+xz}t$ đồng biến)

Biểu thức đã cho:

 ${\log }_{(xy+yz+xz)}(5x^2+16y^2+27z^2)+{\log }_{144}\sqrt{xy+yz+xz}\ge {\log }_{(xy+yz+xz)}12+1+\frac{1}{4}{\log }_{12}(xy+yz+xz)$

 ${\log }_{(xy+yz+xz)}(5x^2+16y^2+27z^2)+{\log }_{144}\sqrt{xy+yz+xz}\ge 2\sqrt{lo{g}_{(xy+yz+xz)}12.\frac{1}{4}{\log }_{12}(xy+yz+xz)}+1$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  ${\log }_{(xy+yz+xz)}\mathrm{l}2=\frac{1}{4}{\log }_{12}(xy+yz+xz)$

⇔ xy + yz + xz = 12² (2)

Từ (1), (2) suy ra đẳng thức đã cho xảy ra khi  $\left\{\begin{array}{l}x=2y=3z\\ xy+yz+xz={12}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=6\\ z=4\end{array}\right.$

Suy ra x + y – z = 14

Vậy x + y – z = 14.