Cho (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 4(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx). Chứng minh x = y = z.

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Cho (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx). Chứng minh x = y = z.

Trả lời:

Ta có (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2zx + x² = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0.

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2zx + x² = 0.

⇔ (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \\ z - x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y \\ y = z \\ z = x \end{cases} \Leftrightarrow x = y = z$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 96 m, chiều dài bằng $\frac{5}{3}$ chiều rộng. Người ta đã sử dụng $\frac{1}{12}$ diện tích mảnh đất để xây nhà. Tính diện tích phần đất xây nhà.

Xem lời giải »

Câu 2:

Một sân vườn hình chữ nhật có chu vi là 64 m, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng.

a) Tính diện tích khu vườn.

Xem lời giải »

Câu 3:

b) Người ta dự định rào khu vườn bằng lưới kẽm. Biết mỗi mét lưới kẽm giá 100 000 đồng. Tính số tiền mua lưới.

Xem lời giải »

Câu 4:

Một vườn hoa có diện tích 800 m² nằm trong công viên có diện tích 25 ha. Hỏi diện tích vườn hoa chiếm bao nhiêu phần diện tích công viên?

Xem lời giải »

Câu 5:

Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở M và cắt DC ở I. Chứng minh $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{a^{2}}$ .