Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở M và cắt DC ở I. Chứng minh .

Câu hỏi:

Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở M và cắt DC ở I. Chứng minh $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{a^{2}}$ .

Trả lời:

Vẽ Ax ⊥ AI sao cho Ax cắt CD tại J.

Tam giác AIJ vuông tại A có AD là đường cao: $\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{A J^{2}} + \frac{1}{A I^{2}}$ (*)

Xét ∆ADJ và ∆ABM, có:

$\hat{A D J} = \hat{A B M} = 90 °$ ;

AD = AB (ABCD là hình vuông);

$\hat{J A D} = \hat{M A B}$ (cùng phụ với $\hat{D A M}$ ).

Do đó ∆ADJ = ∆ABM (g.c.g).

Suy ra AJ = AM (cặp cạnh tương ứng).

Từ (*), suy ra $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{a^{2}}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 96 m, chiều dài bằng $\frac{5}{3}$ chiều rộng. Người ta đã sử dụng $\frac{1}{12}$ diện tích mảnh đất để xây nhà. Tính diện tích phần đất xây nhà.