Chứng minh không tồn tại giới hạn lim x đến + vô cùng sin x
Câu hỏi:
Chứng minh không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\).
Trả lời:
Giả sử tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\)
Đặt \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = L\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {2x + 2} \right) = L\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos \left( {2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos \left( {2x + 2} \right) = 1 - 2{L^2}\)
Ta có: sin2 = sin(2x + 2 – 2x)
sin2 = sin(2x + 2)cos(2x) – cos(2x + 2)sin(2x)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sin \left( {2x + 2} \right)\cos \left( {2x} \right) - \cos \left( {2x + 2} \right)\sin \left( {2x} \right)} \right]\)
⇒ sin2 = L(1 – 2L2) – (1 – 2L2)L
⇒ sin2 = 0 (vô lí)
Điều giả sử ban đầu sai.
Vậy không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x\).
