Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để n2 + 2002 là số chính phương.
Câu hỏi:
Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để n2 + 2002 là số chính phương.
Trả lời:
Để n2 + 2002 là số chính phương thì n2 + 2002 = a2 (a là số tự nhiên khác 0)
⇒ a2 − n2 = 2002
⇒ (a − n) (a + n) = 2002
Do 22002 ⋮ 2.
⇒ (a − n) (a + n) ⋮ 2 hay a – n ⋮ 2 hoặc a + n ⋮ 2 hoặc a − n và a + n đều chia hết cho 2
mà a – n − (a + n) = –2n ⋮ 2
⇒ a − n và a + n cùng chẵn hoặc lẻ ⇒ a − n; a + n đều chia hết cho 2
⇒ (a − n) (a + n) ⋮ 4
Mà 2002 không chia hết cho 4, mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại n để n2 + 2002 là số chính phương.
