Định m để bất phương trình (1 – m)x² + 2mx + m − 6 ≥ 0  có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Để bất phương trình có nghiệm trên 1 đoạn thì f(x) = (1 – m)x² + 2mx + m – 6 phải là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ và hệ số a = 1 – m < 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} - \left( {1 - m} \right)\left( {m - 6} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Để độ dài khoảng nghiệm bằng 1 thì |x₁ – x₂| = 1

⇔ (x₁ – x₂)² = 1

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 1

Áp dụng định lí Vi – ét ta có

\({x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}};{x_1}{x_2} = \frac{{m - 6}}{{1 - m}}\)

Khi đó \({\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} - 4.\frac{{m - 6}}{{1 - m}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} + 4.\frac{{\left( {m - 6} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

⇔ 4m² + 4(m – 6)(m – 1) = (m – 1)²

⇔ 4m² + 4(m² – 7m + 6) = m² – 2m + 1

⇔ 4m² + 4m² – 28m + 24 = m² – 2m + 1

⇔ 7m² – 26m + 23 = 0

\( \Leftrightarrow m = \frac{{13 \pm 2\sqrt 2 }}{7}\)

Vậy \(m = \frac{{13 \pm 2\sqrt 2 }}{7}\).