Giải phương trình căn 2x^2-12x+34 + căn 4x^2- 24x+40= -3+6x-x^2.

Giải phương trình $\sqrt{2x^2-12x+34}+\sqrt{4x^2-24x+40}=-3+6x-x^2$ .

Ta có   $\sqrt{2x^2-12x+34}+\sqrt{4x^2-24x+40}=-3+6x-x^2$  (*)

Ta có $\sqrt{2x^2-12x+34}=\sqrt{2\left(x^2-6x+9\right)+16}=\sqrt{2{\left(x-3\right)}^2+16}\ge \sqrt{16}=4$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\sqrt{4x^2-24x+40}\ge 2$  .

Khi đó $\sqrt{2x^2-12x+34}+\sqrt{4x^2-24x+40}\ge 4+2=6$  .

Lại có –3 + 6x – x² = –(x – 3)² + 6 ≤ 6.

Vì vậy (*) đúng  $\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2-12x+34=16\\ 4x^2-24x+40=4\\ -3+6x-x^2=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2{\left(x-3\right)}^2=0\\ 4{\left(x-3\right)}^2=0\\ -{\left(x-3\right)}^2=0\end{array}\right.\iff x=3$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.