Giải phương trình: sin x + căn bậc hai 3 cos x = 2 sin 2x
Câu hỏi:
Giải phương trình: \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\]
Trả lời:
\[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x\]
\( \Leftrightarrow \sin x\,.\,\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\,.\,\sin \frac{\pi }{3} = \sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy phương trình trên có hai họ nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\; - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
