Giải phương trình: x căn bậc hai (x + 1) + căn bậc hai (3 - x) = 2 căn bậc hai (x^2+ 1)
Câu hỏi:
Giải phương trình: \(x\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2\sqrt {{x^2} + 1} \).
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có:
\[x\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \le \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1 + 3 - x} \right)} = \sqrt {4\left( {{x^2} + 1} \right)} = 2\sqrt {{x^2} + 1} \]
Nghĩa là vế trái luôn ≤ vế phải
Vậy dấu “=” xảy ra khi: \(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\)(điều kiện: –1 < x < 3)
⇔ x2(3 – x) = x + 1
⇔ 3x2 – x3 – x – 1 = 0
⇔ –x3 + 3x2 – x – 1 = 0
⇔ (x – 1)(–x2 + 2x + 1) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - {x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \sqrt 2 + 1\\x = - \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\).
