Phương trình log (x^2 + mx) = log (x + m - 1) có nghiệm duy nhất khi giá trị của m
Câu hỏi:
Phương trình log (x2 + mx) = log (x + m − 1) có nghiệm duy nhất khi giá trị của m là bao nhiêu?
Trả lời:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + mx > 0\\x + m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + m} \right) > 0\\x + m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + m > 1\\x > 0\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho tương đương:
x2 + mx = x + m − 1
Û x2 + (m − 1)x − m + 1 = 0 (1)
Phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép x > 0.
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} - m + 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\left( {m - 1} \right) = 0\\1 - m > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m = - 3\end{array} \right.\)
Với m = −3 thì phương trình tương đương:
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3 > 1\\{x^2} - 4x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x = 2\;\;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)
Suy m > 1 là các giá trị thỏa mãn của tham số m.
