Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho abc = 3(a + b + c).

Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho abc = 3(a + b + c).

Ta có a, b, c là số nguyên tố. Suy ra a, b, c cũng là số tự nhiên.

Do đó a + b + c ∈ ℕ.

Vì vậy 3(a + b + c) ⋮ 3.

Suy ra abc ⋮ 3.

Do đó tồn tại ít nhất một trong ba số a, b, c chia hết cho 3.

Trường hợp 1: a = b = c = 3.

Ta có abc = 3(a + b + c).

Suy ra 3.3.3 = 3(3 + 3 + 3) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: Tồn tại hai số chia hết cho 3.

Giả sử a, b chia hết cho 3. Tức là, a = b = 3.

Ta có abc = 3(a + b + c).

Suy ra 3.3.c = 3(3 + 3 + c).

Do đó 9c = 18 + 3c.

Vì vậy 6c = 18.

Suy ra c = 3.

Lúc này, ta thấy c = 3 không thỏa mãn điều kiện của trường hợp 2 vì chỉ có hai số chia hết cho 3.

Trường hợp 3: Nếu chỉ tồn tại một số chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 3. Tức là, a = 3.

Ta có abc = 3(a + b + c).

Suy ra 3bc = 9 + 3b + 3c.

Do đó bc = 3 + b + c.

Vì vậy bc – b – c + 1 = 4.

Suy ra b(c – 1) – (c – 1) = 4.

Do đó (b – 1)(c – 1) = 4   (*)

Vì b, c là số nguyên tố nên b – 1; c – 1 là số tự nhiên.

Vì vậy b – 1 ∈ Ư(4) = {1; 2; 4}.

Suy ra b ∈ {2; 3; 5}.

So với điều kiện của trường hợp 3, ta nhận b ∈ {2; 5}.

Thay b = 2 vào (*), ta được: c – 1 = 4. Suy ra c = 5.

Thay b = 5 vào (*), ta được c – 1 = 1. Suy ra c = 2.

Vậy các bộ số (a; b; c) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (3; 3; 3), (3; 2; 5), (3; 5; 2), (2; 3; 5), (2; 5; 3), (5; 3; 2), (5; 2; 3).