Tìm m để phương trình cos2x + 2(m + 1)sinx - 2m - 1 = 0 có đúng 3 nghiệm x thuộc (0; pi)
Câu hỏi:
Tìm m để phương trình cos2x + 2(m + 1)sinx − 2m – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm x ∈ (0; π).
Trả lời:
Ta có: cos2x + 2(m + 1)sinx – 2m – 1 = 0
⇔ sin2 x – (m + 1) sinx + m = 0 (1)
Đặt t = sinx, ta có phương trình:
t2 – (m + 1)t + m = 0 (*)
Để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm x ∈ (0; π) khi phương trình (*) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 1 và 1 nghiệm t ∈ (0; 1)
t1 = 1 ⇒ sinx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) ⇒ m ∈ ℝ
t ∈ (0; 1). Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
t1 + t2 = m + 1 với t1 = 1 nên t2 = m.
Vậy 0 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
