Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin2x - 2(sinx - cosx) - 2 = 0

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin2x – 2(sinx – cosx) – 2 = 0.

Phương trình sin2x – 2(sinx – cosx) – 2 = 0 có nghĩa với mọi x ∈ ℝ

Ta có: sin2x – 2(sinx – cosx) – 2 = 0

⇔ 2(sinx – cosx) – 2sinxcosx + 2 = 0

Đặt t = sinx – cosx \(\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\)

Ta có: sinxcosx = \(\frac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Ta có phương trình: 2t – (1 – t²) + 2 = 0

⇔ t² + 2t + 1 = 0

⇔ (t + 1)² = 0

⇔ t = –1

Với t = –1 thì sinx – cosx = –1

⇔ \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right)\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x = \(\frac{{3\pi }}{2}\).