Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n = 2n + 11
Câu hỏi:
Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n = 2n + 11
Trả lời:
Đặt A = 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n
Ta có: A = 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n
Suy ra 2A = 2(2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n)
= 2.23 + 3.24 + 4.25 + ... + n.2n + 1
Do đó 2A - A = A = 2.22 + (3.23 - 2.23) + ... + (n - n + 1).2n - n.2n + 1
= 2.22 + 23 + 24 + ... + 2n -n.2n + 1
= 22 + (22 + 23 + 24 + ... + 2n + 1) - (n + 1) . 2n + 1
Đặt B = 22 + 23 + 24 + ... + 2n + 1
Suy ra 2B = 23 + 24 + 25 + ... + 2n + 2
Do đó 2B - B = B = 2n + 2 - 22
Þ B = 2n + 2 - 22 = 22 - 2n + 2 + 22 + (n + 1).2n + 1
= (n + 1).2n + 1 - 2n + 2
= 2n + 1(n + 1 - 2)
= (n - 1).2n+1 = 2(n - 1).2n
Mà A = 2(n - 1).2n = 2n + 11
Þ 2(n - 1) = 211 Þ n - 1 = 210
Þ n - 1 = 1024 Þ n = 1025
Vậy n = 1025.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Hình chữ nhật có nửa chu vi là 99 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5 m và giảm chiều dài đi 5 m thì diện tích không thay đổi. Tính chiều dài và chiều rộng.
Xem lời giải »
Câu 2:
Tìm số dư của phép chia 158 : 2,8 nếu chỉ lấy đến hai chữ số ở phần thập phân của thương.
Xem lời giải »
Câu 3:
Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a, b) = 4 và a + b = 48.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tính diện tích hình thoi có chu vi 52 cm, một đường chéo bằng 24 cm
Xem lời giải »
Câu 5:
Trong một công viên có diện tích đã trồng hoa và cây xanh, trong đó diện tích để trồng cây xanh là bao nhiêu phần diện tích của công viên?
Xem lời giải »
Câu 7:
Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc của mỗi khối có bao nhiêu học sinh?
Xem lời giải »
Câu 8:
Một sân trường hình chữ nhật có nửa chu vi là 120 m. Chiều rộng bằng chiều dài. Hỏi diện tích của sân trường đó bằng bao nhiêu mét vuông, bao nhiêu ha?
Xem lời giải »
