Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0.
Câu hỏi:
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0.
Trả lời:
x2 + 2y2 + 2xy + 3y − 4 = 0
⇔ 4x2 + 8y2 + 8xy + 12y − 16 = 0
⇔ (4x2 + 8xy + 4y2) + (4y2 + 12y + 9) = 25
⇔ (2x + 2y)2 + (2y + 3)2 = 25 = 0 + 52 = 32 + 42
Do x; y là số nguyên và 2y + 3 là số lẻ ⇒ (2y + 3)2 thuộc {52; 32}.
Xét các TH xảy ra:
TH1) {2x+2y=02y+3=5⇔{x+y=0y=1⇔{x=−1y=1
TH2) {2x+2y=02y+3=−5⇔{x+y=0y=−4⇔{x=4y=−4
TH3) {2x+2y=42y+3=3⇔{x+y=2y=0⇔{x=2y=0
TH4) {2x+2y=−42y+3=−3⇔{x+y=−2y=−3⇔{x=1y=−3
TH5) {2x+2y=42y+3=−3⇔{x+y=2y=−3⇔{x=5y=−3
TH6) {2x+2y=−42y+3=3⇔{x+y=−2y=0⇔{x=−2y=0
Vậy các cặp số nguyên (x, y) ∈ {(–1, 1); (4, –4); (2, 0); (1, –3); (5, –3); (–2, 0)} thỏa mãn đề bài.
