Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=2/3x^3-mx^2-2(3m^2-1)x+2/3

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2(3m^2-1)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1$

A. $m=0$

B. $m=-\frac{2}{3}$

C. $m=\frac{2}{3}$

D. $m=-\frac{1}{2}$

Trả lời:

Chọn C

Ta có:$y^{\text{'}}=2x^2-2mx-2(3m^2-1)$

$g\left(x\right)=x^2-mx-3m^2+1$ là tam thức bậc hai có $∆=13m^2-4$

Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\text{'}}$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff g\left(x\right)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_1;x_2$ là các nghiệm của g(x) nên theo định lý Vi-ét, ta có

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ $m=\frac{2}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán