Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ điểm M(0;3)

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ điểm $M (0; 3)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 m x + 1$ bằng $\frac{2}{\sqrt{5}} .$

A. $m = 1, m = - 1.$

B. m=-1

C. m=2, m=-1

D. Không tồn tại m

Trả lời:

Ta có $y' = 3 x^{2} + 3 m; y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} = - m .$

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m < 0$ . (*)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phần dư $2 m x + 1$ , nên đường thẳng $Δ : y = 2 m x + 1$ chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow d [M, Δ] = \frac{2}{\sqrt{4 m^{2} + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ .

Đối chiếu điều kiện $(*)$ , ta chọn $m = - 1$ . Chọn B.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3} + m$ . Tìm các giá trị của tham số m để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7.$

Xem lời giải »

Câu 2:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = 4 x^{3} + m x^{2} - 3 x$ . Tìm các giá trị thực của tham số m để $x_{1} + 4 x_{2} = 0.$

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 2) x^{2} + (2 m + 3) x + 2017$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để x=1 là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} + 3 (m - 1) x^{2} + 6 (m - 2) x - 1$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (-2;3).