X

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Tính tích phân tích phân -pi/2 pi/2 căn bậc hai (1 + sinx) dx


Câu hỏi:

Tính tích phân\(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} \).

Trả lời:

\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} dx} \]

\[ = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} dx} \]

\[ = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right|dx} \]

Đặt \[u = \frac{\pi }{4} - \frac{x}{2} \Rightarrow du = \frac{{ - 1}}{2}dx\]

Ta được:

I = \(\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right|dx} = - = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos u} \right|du} \)

\( = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos u} \right|du} \)

\( = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos udu} \)

\( = 2\sqrt 2 \sin u\left| {_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\scriptstyle\frac{\pi }{2}\atop\scriptstyle}} \right.\)

\( = 4\sqrt 2 \).

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tìm số thực a để \(\sqrt {9 - 3a} \)có nghĩa.

Xem lời giải »


Câu 2:

Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O, AB = 4, BC = 3. I là trung điểm BC. Tính \(\left| {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} } \right|;\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right|\).

Xem lời giải »


Câu 3:

Cho tam giác đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).

Xem lời giải »


Câu 4:

Hai đường thẳng không có điểm chung gọi là gì?

Xem lời giải »