Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB

a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.

Suy ra MA = MB.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)

Lại có OA = OB = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó MO ⊥ AB tại K và K là trung điểm AB.

b) Xét ∆OHM và ∆OKI, có:

$\widehat O$ chung.

$\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = 90^\circ$

Do đó ∆OHM ∽ ∆OKI (g.g).

Suy ra $\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OM}}{{OI}}$

Do đó OH.OI = OM.OK.

Xét ∆AOM vuông tại A có AK là đường cao:

OA² = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy OH.OI = OA² = OB² (điều phải chứng minh).

c) Ta có $\widehat {OAM} = 90^\circ$(giả thiết)

Suy ra O, A, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tương tự, ta có O, H, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Khi đó tứ giác AHOM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Suy ra $\widehat {AMO} = \widehat {AHI}$ (1)

Ta có $\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ$(MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Suy ra $\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Do đó tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Vì vậy $\widehat {AMO} = \widehat {ABO}$(2)

Từ (1), (2), suy ra $\widehat {ABO} = \widehat {AHI}$

Xét ∆IHN và ∆IKO, có:

$\widehat I$chung.

$\widehat {IHN} = \widehat {IKO} = 90^\circ$

Do đó: ∆IHN ∽ ∆IKO (g.g).

Suy ra $\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{IO}}$

Do đó IH.IO = IN.IK  (3)

Xét ∆AHI và ∆OBI, có:

$\widehat I$ chung.

$\widehat {ABO} = \widehat {AHI}$(chứng minh trên).

Do đó ∆AHI ~ ∆OBI  (g.g).

Suy ra $\frac{{IA}}{{IO}} = \frac{{IH}}{{IB}}$

Do đó IA.IB = IH.IO (4)

Từ (3), (4), suy ra IA.IB = IN.IK (điều phải chứng minh).