Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn

a) Vì MP, MQ là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat {MPO} = \widehat {MQO} = 90^\circ$

Xét tứ giác MPOQ có $\widehat {MPO} + \widehat {MQO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Suy ra tứ giác MPOQ nội tiếp                      (1)

Xét (O) có AB là dây cung, I là trung điểm của AB nên OI ⊥ AB

Xét tứ giác MPOI có $\widehat {MPO} + \widehat {MIO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Suy ra tứ giác MPOI nội tiếp                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Vì 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn nên tứ giác IPMQ nội tiếp

Suy ra $\widehat {PIM} = \widehat {PQM} = \widehat {MPQ}$

Xét ∆PEM và ∆IPM có

$\widehat {EPM} = \widehat {MIP}$ (chứng minh trên)

$\widehat {PME}$ là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó $\frac{{ME}}{{PM}} = \frac{{PM}}{{IM}}$

Suy ra MP² = ME . MI

c) Vì tứ giác IPMQ nội tiếp nên $\widehat {IQH} = \widehat {IMP}$ (cùng chắn cung IP)

Vì AK // MP nên $\widehat {IAH} = \widehat {IMP}$ (hai góc đồng vị)

Suy ra $\widehat {IQH} = \widehat {IAH}$

Do đó tứ giác AHIQ nội tiếp

Suy ra $\widehat {AIH} = \widehat {AQH} = \widehat {QPA}$ (cùng chắn cung AI)

Mà $\widehat {AQP} = \widehat {ABP}$ (cùng chắn cung AP)

Do đó $\widehat {AIH} = \widehat {ABP}$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IH // BP

Xét tam giác ABK có IH // BP và $IA = IB = \frac{1}{2}AB$

Suy ra IH là đường trung bình

Do đó KB = 2IH.