Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin^2 x + 2sin 2x + 3acos^2 x
Câu hỏi:
Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2 có nghiệm?
Trả lời:
Ta có:
asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2
\( \Leftrightarrow a\,.\,\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\,\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\)
Û a(1 − cos 2x) + 4sin 2x + 3a(1 + cos 2x) = 4
Û a − acos 2x + 4sin 2x + 3a + 3acos 2x = 4
Û 2sin 2x + acos 2x = 2 − 2a (*)
Phương trình (*) có nghiệm
Û 4 + a2 ≥ (2 − 2a)2
Û 4 + a2 ≥ 4 − 8a + 4a2
Û 3a2 − 8a ≤ 0
\( \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}\)
Vậy \({a_{\max }} = \frac{8}{3}\).
