Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng:

Áp dụng công thức Heron ta có:$\text{S}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

Nên     ${\text{S}}^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)$                          (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

$\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le {\left[\frac{\left(p-a\right)+\left(p-b\right)+\left(p-c\right)}{3}\right]}^3$

   $\iff \left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le \frac{p^3}{27}$                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra $S^2\le \frac{p^4}{27}$

Hay $S\le \frac{p^2}{3\sqrt{3}}=\frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{12\sqrt{3}}$

Mà (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

⇔ (a + b + c)² ≤ a² + b² + c² + (a² + b²) + (b² + c²) + (a² + c²)

⇔ (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Suy ra $S\le \frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{12\sqrt{3}}$

Do đó ${\text{a}}^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$

Vậy ${\text{a}}^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$