Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng .a/b c b/c a c/a b = 3/2
Câu hỏi:
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng ab+c+bc+a+ca+b≥32.
Trả lời:
Ta có VT=ab+c+bc+a+ca+b
=ab+c+1+bc+a+1+ca+b+1−3
=a+b+cb+c+b+c+ac+a+c+a+ba+b−3
=(a+b+c)(1b+c+1c+a+1a+b)−3
=12[(b+c)+(c+a)+(a+b)](1b+c+1c+a+1a+b)−3.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
[(b+c)+(c+a)+(a+b)](1b+c+1c+a+1a+b)
≥33√(b+c)(c+a)(a+b).33√1b+c.1c+a.1a+b=9.
Khi đó VT=12[(b+c)+(c+a)+(a+b)](1b+c+1c+a+1a+b)−3≥12.9−3=32 .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
