Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2009. Tính A = a4 + b4 + c4.

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 2009.

Tính A = a⁴ + b⁴ + c⁴.

Trả lời:

Ta có a + b + c = 0.

⇔ (a + b + c)² = 0.

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2009 + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2(ab + bc + ca) = –2009.

$\Leftrightarrow a b + b c + c a = - \frac{2009}{2}$ .

Ta có $a b + b c + c a = - \frac{2009}{2}$ .

Suy ra ${(a b + b c + c a)}^{2} = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 (a b^{2} c + b c^{2} a + a^{2} b c) = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 a b c (b + c + a) = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 a b c .0 = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} = \frac{2009^{2}}{4}$ .

Ta có A = a⁴ + b⁴ + c⁴

= (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²)

$= 2009^{2} - 2. \frac{2009^{2}}{4} = 2009^{2} . (1 - \frac{1}{2}) = \frac{4036081}{2}$ .

Vậy $A = \frac{4036081}{2}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Viết số đo đại lượng dưới dạng số thập phân: 9 dm 2 cm 7 mm = ... dm.

Xem lời giải »

Câu 2:

Ba người thợ thêu làm được tất cả 115 sản phẩm trong cùng một thời gian. Để làm được một sản phẩm: người thứ nhất cần 4 phút, người thứ hai cần 8 phút, người thứ ba cần 5 phút. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm?

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. BM cắt CN tại K.

a) Chứng minh ∆BNC = ∆CMB.

Xem lời giải »

Câu 4:

b) Chứng minh ∆BKC cân tại K.

Xem lời giải »

Câu 5:

Gọi x là số tự nhiên thỏa mãn 3^{x – 1} – 25 = 56. Chọn câu đúng:

Xem lời giải »

Câu 6: