Cho biểu thức: A = ( x - 5 căn bậc hai của x /x - 25 - 1):( 25 - x/x + 2 căn bậc hai của x  - 15 - căn bậc hai của x  + 3/ căn bậc hai của x  + 5 + căn bậc hai của x  - 5/ căn bậc hai của x 

Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{{x - 5\sqrt x }}{{x - 25}} - 1} \right):\left( {\frac{{25 - x}}{{x + 2\sqrt x - 15}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x - 3}}} \right)$

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A < 1.

Lời giải                         

ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 25, x ≠ 9

a) $A = \left( {\frac{{x - 5\sqrt x }}{{x - 25}} - 1} \right):\left( {\frac{{25 - x}}{{x + 2\sqrt x - 15}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 5}} + \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x - 3}}} \right)$

$= \frac{{x - 5\sqrt x - \left( {x - 25} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}:\left[ {\frac{{25 - x}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right]$

$= \frac{{ - 5\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}:\frac{{25 - x - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= - \frac{5}{{\sqrt x + 5}}:\frac{{ - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= - \frac{5}{{\sqrt x + 5}}.\frac{{ - \left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= - \frac{5}{{\sqrt x + 5}} \cdot \frac{{ - \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\sqrt x + 3}}$

$= \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$.

b) Với x ≥ 0, x ≠ 25, x ≠ 9, ta có

A < 1 $\Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 3}} < 1$ ⇔ $\Leftrightarrow \frac{{5 - \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} < 0$

$\Leftrightarrow 2 - \sqrt x < 0$ (vì $\sqrt x + 3 > 0$ ∀x ≥ 0, x ≠ 25, x ≠ 9)

$\Leftrightarrow \sqrt x > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Kết hợp điều kiện x ≥ 0, x ≠ 25, x ≠ 9 ta được: x > 4, x ≠ 25, x ≠ 9.

Vậy để A < 1 thì x > 4, x ≠ 25, x ≠ 9