Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3d3; b5 + c5 + d5 = 3a5 và c7 + d7 + a7 = 3b7. Chứng minh rằng a = b = c = d.
Câu hỏi:
Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3d3; b5 + c5 + d5 = 3a5 và c7 + d7 + a7 = 3b7. Chứng minh rằng a = b = c = d.
Trả lời:
Xét 4 trường hợp.
Trường hợp 1: a là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ b5 + c5 + d5 = 3a5 ⇒ a = b = c = d
Trường hợp 2: b là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ c7 + d7 + a7 = 3b7 ⇒ a = b = c = d
Trường hợp 3: c là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ a3 + b3 + c3 = 3d3 ≥ 3abc ⇒ d3 ≥ abc (1).
Từ b5 + c5 + d5 = 3a5 ≥ 33√b5c5d5⇒a≥3√bcd⇒a3≥bcd (2).
Từ c7 + d7 + a7 = 3b7 ⇒3b7≥33√c7d7a7⇒b≥3√cda⇒b3≥cda (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra abd ≥ c3, mà c lớn nhất nên a = b = c = d.
Trường hợp 4: d là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d
Từ a3 + b3 + c3 = 3d3 ⇒ a = b = c = d
Vậy ta có a = b = c = d.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3; 5; 7 được số dư theo thứ tự là 2; 3; 4.
Xem lời giải »
Câu 2:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi chia số đó cho hiệu các chữ số của nó ra được thương là 28 và dư 1.
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho các số từ 1 đến 9. Em hãy điền các số này vào các sô vuông, sao cho tổng của 3 ô hàng dọc, hàng ngang và đường chéo bằng nhau.
Xem lời giải »
Câu 6:
Một kho chứa gạo lần đầu người ta lấy ra 32850kg, lần sau người ta lấy ra số gạo bằng 13 lần đầu thì trong kho còn lại 26300kg gạo. Hỏi lúc đầu trong kho còn bao nhiêu tạ gạo?
Xem lời giải »
Câu 7:
Có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 7 hoặc 17.
Xem lời giải »
Câu 8:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 45m, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Người ta dành 35% diện tích đất để làm nhà. Tính diện tích phần còn lại của mảnh đất đó.
Xem lời giải »
