Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn và hàm số . Gọi M, m lần lượt

Câu hỏi:

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn $x^2+2y^2+2xy=1$ và hàm số $f\left(t\right)=t^4-t^2+2$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q=f\left(\frac{x+y+1}{x+2y-2}\right)$. Tính M + m?

A. $8\sqrt{3}-2$

B. $\frac{303}{2}$

C. $\frac{303}{4}$

D. $4\sqrt{3}+2$

Trả lời:

Ta có:  $x^2+2y^2+2xy=1$$\iff {\left(x+y\right)}^2+y^2=1$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}x+y=\sin \alpha \\ y=\cos \alpha \end{array}\right.$ ta có:  $Q=f\left(\frac{x+y+1}{x+2y-2}\right)=f\left(\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\cos \alpha -2}\right)$

Đặt $t=\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\cos \alpha -2}$. Ta có:  $Q=f\left(\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\cos \alpha -2}\right)=f\left(t\right)$

$\iff t^2-2t+1+t^2\ge 4t^2+4t+1\iff 2t^2+6t\le 0\iff -3\le t\le 0$ (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm $\alpha$ thì  ${\left(t-1\right)}^2+t^2\ge {\left(2t+1\right)}^2$

$\iff t^2-2t+1+t^2\ge 4t^2+4t+1\iff 2t^2+6t\le 0\iff -3\le t\le 0$

Xét $Q=f\left(t\right)=t^4-t^2+2$ trên đoạn $\left[-3;0\right]$ có  $f\text{'}\left(t\right)=4t^3-2t,f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

Hàm số $f\left(t\right)$ liên tục trên $\left[-3;0\right]$ có  $f\left(-3\right)=74,f\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\frac{7}{4},f\left(0\right)=2$

$\Rightarrow \underset{\left[-3;0\right]}{\min }f\left(t\right)=\frac{7}{4},\underset{\left[-3;0\right]}{\max }f\left(t\right)=74$

$\Rightarrow M+m=\frac{7}{4}+74=\frac{303}{4}$

Đáp án cần chọn là: C