Cho hai số thực x, y thỏa mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất
Câu hỏi:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+y2−4x+6y+4+√y2+6y+10=√6+4x−x2Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T=|√x2+y2−a|. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−10;10] của tham số a để M≥2m ?
A. 17
B. 10
C. 15
D. 18
Trả lời:
Ta có:x2+y2−4x+6y+4+√y2+6y+10=√6+4x−x2
⇔x2+y2−4x+6y+4+√y2+6y+10−√6+4x−x2=0
⇔x2+y2−4x+6y+4+(√y2+6y+10−√6+4x−x2)(√y2+6y+10+√6+4x−x2)√y2+6y+10+√6+4x−x2=0
⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6−4x+x2√y2+6y+10+√6+4x−x2=0
⇔x2+y2−4x+6y+4+x2+y2−4x+6y+4√y2+6y+10+√6+4x−x2=0
⇔(x2+y2−4x+6y+4)+(1+1√y2+6y+10+√6+4x−x2)=0
⇔x2+y2−4x+6y+4=0
(vì 1+1√y2+6y+10+√6+4x−x2>0)
⇔(x−2)2+(y+3)2=9
Phương trình ⇔(x−2)2+(y+3)2=9 là phương trình đường tròn (C) tâm I(2;−3) và bán kính R = 3.
Gọi N(x;y)∈(C) ta suy ra ON=√x2+y2 suy ra T=|ON−a|
Gọi A, B là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng OI.
Khi đó, OA=OI−R=√13−3 và OB=OI+R=√13+3
Suy ra √13−3≤√x2+y2≤√13+3
TH1: nếu √13−3≤a≤√13+3 thì |√x2+y2−a|≥0⇒minT=0⇒M≥2m⇒a∈{1;2;3;4;5;6}
TH2: Nếu a<√13−3⇒a<√13 nên |√13+3−a|>|√13−3−a|, do đó M=|√13+3−a|;m=|√13−3−a|
Vì M≥2m⇒|√13+3−a|≥2|√13−3−a|
⇔(√13−3−a)2−(2√13+6−2a)2≥0⇔√13+1≤a≤√13+9⇒a∈{5;6;7;8;9;10}
Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn đề bài.
Đáp án cần chọn là: B
