Cho các số tự nhiên a1, a2, ..., a2013 có tổng bằng 20132014. Chứng minh rằng chia hết cho 3.
Câu hỏi:
Cho các số tự nhiên a1, a2, ..., a2013 có tổng bằng 20132014. Chứng minh rằng chia hết cho 3.
Trả lời:
Theo đề, ta có a1 + a2 + ... + a2013 = 20132014.
Đặt .
Suy ra .
(*)
Ta xét bài toán phụ sau: x3 – x = x(x2 – 1) = x(x – 1)(x + 1).
Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3.
Suy ra x3 – x chia hết cho 3.
Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3.
Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 20132014 chia hết cho 3.
Mà 20132014 chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3).
Vậy S chia hết cho 3 hay chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).
