Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: góc MA . góc MB = MO^2 - OA^2.

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0$

Do hai vectơ $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB}$ ngược hướng

Nên $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ$

Do đó $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = |\overrightarrow {OA} | \cdot |\overrightarrow {OB} | \cdot \cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )$

$= OA \cdot OB \cdot \cos 180^\circ = - OA \cdot OA = - O{A^2}$

Với điểm M tùy ý ta có

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\)

$\begin{array}{l} = {\overrightarrow {MO} ^2} + \overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\ = {\left| {\overrightarrow {MO} } \right|^2} + (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ) \cdot \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\ = M{O^2} + \vec 0 \cdot \overrightarrow {MO} + \left( { - O{A^2}} \right)\end{array}$

Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - O{A^2}$.