Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm A sao cho OA = R căn 2
Câu hỏi:
Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm A sao cho OA =R√2 . Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn 1 góc ^xOy= 45° cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.
Chứng minh:
a) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) 23R<DE<R .
Trả lời:
Gọi BC giao OD và OE lần lượt tại H và K.
Vì OA = R√2 = OB √2= OC√2 nên tứ giác ABOC là hình vuông
Suy ra ^ABC=^DOE= 45°, suy ra tứ giác DBOK nội tiếp
Do đó ^DKO= 180° – ^DBO= 90° hay DK ⊥ OE
Tương tự EH ⊥ OD.
Suy ra ^BDO=^BKO=^EDO do DHKE nội tiếp
Suy ra DO là phân giác ^BDE. Mà AO là phân giác ^DAE nên O là tâm bàng tiếp góc A của ΔADE
Do vậy DE + AD + AE = 2AB = 2R
Ta có 2R = DE + AD + AE > DE + DE = 2DE ⇒ DE < R
Lại có 23R=DE+AD+AE3<DE+DE+DE3=DE
Vì OA = R√2 = OB √2= OC√2 nên tứ giác ABOC là hình vuông
Suy ra ^ABC=^DOE= 45°, suy ra tứ giác DBOK nội tiếp
Do đó ^DKO= 180° – ^DBO= 90° hay DK ⊥ OE
Tương tự EH ⊥ OD.
Suy ra ^BDO=^BKO=^EDO do DHKE nội tiếp
Suy ra DO là phân giác ^BDE. Mà AO là phân giác ^DAE nên O là tâm bàng tiếp góc A của ΔADE
Do vậy DE + AD + AE = 2AB = 2R
Ta có 2R = DE + AD + AE > DE + DE = 2DE ⇒ DE < R
Lại có 23R=DE+AD+AE3<DE+DE+DE3=DE
23R=DE+AD+AE3<DE+DE+DE3=
Vậy 23R<DE<R
Vậy 23R<DE<R
