Cho hàm số f(x) = 4^x / (4^x + 1). Tính tổng S = f(1/2019) + f(2/2019) + + f(2018/2019)
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\). Tính tổng
\(S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + \ldots + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right){\rm{.\;}}\)
A. \(S = \frac{{3032}}{3}.\)
B. \(S = \frac{{3023}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{3026}}{3}.\)
D. \(S = \frac{{3029}}{3}.\)
Trả lời:
Đáp án đúng là: D
Ta có:\({\rm{\;f}}\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} \Rightarrow f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}}\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}} = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{4}{{4 + {{2.4}^x}}}\)
\( = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{2}{{{4^x} + 2}} = 1\)
Khi đó \(f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right) = 1;f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{{2017}}{{2019}}} \right) = 1; \ldots \) và \(f\left( 1 \right) = \frac{4}{6}\).
Vậy \(S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + \ldots + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right)\)
\( = \frac{{2018}}{2} \cdot 1 + \frac{4}{6} = \frac{{3029}}{3}\)
Đáp án cần chọn là: D
