Cho hàm số y = mx + 3 (d). Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d lớn nhất

Câu hỏi:

Trả lời:

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy.

Khi đó, $A (\frac{- 3}{m}; 0)$ , $B (0; 3)$ . Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d)

Xét tam giác vuông OAB có:

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} \Leftrightarrow O H = \frac{O A . O B}{\sqrt{O A^{2} + O B^{2}}}$

Suy ra OH_MAX Û ${(\frac{O A . O B}{\sqrt{O A^{2} + O B^{2}}})}_{M A X}$

Ta có $\frac{O A . O B}{\sqrt{O A^{2} + O B^{2}}} = \frac{|\frac{- 3}{m}| |3|}{\sqrt{{(\frac{- 3}{m})}^{2} + 3^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{9 (m^{2} + 1)}} = \frac{3}{\sqrt{m^{2} + 1}}$

mà $\frac{3}{\sqrt{m^{2} + 1}} \leq 3$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 3 khi và chỉ khi m = 0.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Hình chữ nhật có nửa chu vi là 99 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5 m và giảm chiều dài đi 5 m thì diện tích không thay đổi. Tính chiều dài và chiều rộng.

Xem lời giải »

Câu 2:

Tìm số dư của phép chia 158 : 2,8 nếu chỉ lấy đến hai chữ số ở phần thập phân của thương.

Xem lời giải »

Câu 3:

Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a, b) = 4 và a + b = 48.

Xem lời giải »

Câu 4:

Tính diện tích hình thoi có chu vi 52 cm, một đường chéo bằng 24 cm

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh