Cho hàm số y = -x^3 + 3mx^2 - 3m - 1 = 0 với m là tham số thực. Tìm m để đồ
Câu hỏi:
Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 − 3m − 1 = 0 với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
Trả lời:
Ta có:
y′ = −3x2 + 6mx = −3x(x − 2m)
y′ = 0 ⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\]
Khi đó gọi A(0; −3m − 1) và B(2m;4m3 − 3m − 1) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Suy ra trung điểm của AB là điểm I(m; 2m3 − 3m − 1) và \[\overrightarrow {AB} = \left( {2m;4{m^3}} \right) = 2m\left( {1;2{m^2}} \right)\]
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( {8; - 1} \right)\]
Theo bài: I Î d và \[\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow u = 0\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 8\left( {2{m^3} - 3m - 1} \right) - 74 = 0\\8 - 2{m^2} = 0\end{array} \right.\]
Û m = 2
Vậy giá trị m thoả mãn là 2.
