Cho hàm số y = x^3 + 3x^2 + m có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) cắt trục hoành tạị 3 điểm
Câu hỏi:
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + m có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) cắt trục hoành tạị 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. m ∈ (0; +∞);
B. m ∈ (−∞; −4);
C. m ∈ (−4; 0);
D. m ∈ (−4; −2).
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3 + 3x2 + m = 0 (1)
Vì đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng.
Gọi 3 nghiệm đó lần lượt là: x0 – d; x0; x0 + d (d ≠ 0)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
\[{x_0} - d + {x_0} + {x_0} + d = \frac{{ - b}}{a} = - 3\]
⇔ 3x0 = −3 ⇔ x0 = −1 (là một nghiệm của phương trình (1))
⇒ (−1)3 + 3.(−1)2 + m = 0
⇔ m + 2 = 0
⇔ m = −2 ⇒ m ∈ (−4; 0).
