Cho hàm số y = x^4 - 2x^2 + 2m + 1 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân

Cho hàm số y = x⁴ − 2x² + 2m + 1 (C_m).

Tìm m để (C_m)  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Do để (C_m)  cắt trục Ox nên y = 0

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 2m + 1\end{array} \right.\) có 4 nghiệm phân biệt khi

2m + 1> 0; 2m + 1 ≠ 1 ⇔ m > ‒1; m ≠ 0.

Khi đó 4 nghiệm là \( - \sqrt {2m + 1} ; - 1;1;\sqrt {2m + 1} \)

4 nghiệm lập thành cấp số cộng có trường hợp sau sắp xếp theo thứ tự sau

TH1: \( - 1; - \sqrt {2m + 1} ;\sqrt {2m + 1} ;1 \Rightarrow \) khoảng cách giữa chúng là bằng nhau

\( \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2m + 1} = 2\sqrt {2m + 1} \Leftrightarrow 3\sqrt {2m + 1} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{9}\).

\({\rm{TH}}2: - \sqrt {2m + 1} ; - 1;1;\sqrt {2m + 1} \Rightarrow \) khoảng cách giữa chung là bằng nhau

\( \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 4\)