Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = 2AB = 2CD = 2a

Diện tích hình thang cân ABCD là ${{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = \frac{{3{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{4}$

Mà ${V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = a$

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC

Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác ABC

Do đó PQ // AC $\Rightarrow ({\rm{SAC}})\,{\rm{//}}\,({\rm{MPQ}}){\rm{ }}$

Do đó: $\widehat {\left( {{\rm{MN;}}\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MN;({\rm{MPQ}})} \right)} = (\widehat {{\rm{MN}};{\rm{NH}}}) = \widehat {{\rm{MNH}}}$ với H là hình chiếu của N trên PQ

Xét tam giác SAB có P, M lần lượt là trung điểm của AB, BS

Suy ra PM là đường trung bình

Do đó PM // SA $\Rightarrow {\rm{MP}} \bot ({\rm{ABCD}})$

Suy ra tam giác MPN vuông tại P

Khi đó ${\rm{MN}} = \sqrt {{\rm{M}}{{\rm{P}}^2} + {\rm{N}}{{\rm{P}}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3{\rm{a}}}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$ (định lý Pytago)

Ta có ${\rm{NH}} \bot {\rm{PQ}}$

$\Rightarrow {\rm{NH}} = \frac{3}{2}\;{\rm{d}}(\;{\rm{N}};({\rm{PQ}})) = \frac{3}{2}\;{\rm{d}}(\;{\rm{B}};({\rm{PQ}})) = \frac{3}{4}$

Tam giác NMH vuông tại H, có $\sin \widehat {MNH} = \frac{{NH}}{{MN}} = \frac{3}{4}:\frac{{\sqrt {10} }}{2} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{20}}$

Vậy ta chọn đáp án B.