Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2căn 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. T

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh  $2\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒O là trung điểm của AC

Ta có: CD ^ AD; CD ^ SA

Þ CD ^ (SAD)

Þ CD ^ AP

Lại có: SC ^ AP (do SC ⊥ (α)); CD ⊥ AP

Þ AP ⊥ (SCD) ⇒ AP ⊥ CP Þ ΔAPC vuông tại P

Þ OA = OC = OP

Tương tự, ta có: ΔAMC vuông tại M 

Þ OA = OC = OM

Lại có: SC ⊥ AN (do SC ⊥ (α))

ÞΔANC vuông tại N Þ OA = OC = ON

Þ OA = OC = OP = OM = ON

Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Bán kính là:  $R=OA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=2$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là: 
 $V=\frac{4\pi }{3}\cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là  $\frac{32\pi }{3}$.